Optimal Polynomial Admissible Meshes on Some Classes of Compact Subsets of Rd\R^d

We show that any compact subset of $\R^d$ which is the closure of a bounded star-shaped Lipschitz domain $\Omega$, such that $\complement \Omega$ has positive reach in the sense of Federer, admits an \emph{optimal AM} (admissible mesh), that is a sequence of polynomial norming sets with optimal cardinality. This extends a recent result of A. Kro\'o on $\mathscr C^ 2$ star-shaped domains. Moreover, we prove constructively the existence of an optimal AM for any $K := \overline\Omega \subset \R^ d$ where $\Omega$ is a bounded $\mathscr C^{ 1,1}$ domain. This is done by a particular multivariate sharp version of the Bernstein Inequality via the distance function.Comment: 29 pages, 3figure

Bernstein Markov properties and Applications

La proprietà di Bernstein Markov per un compatto E ed una misura positiva finita μ avente supporto in E è un’ assunzione di comparabilità asintotica tra le norme uniformi ed L μ 2 dei polinomi di grado al più k (o altre famiglie innestate di funzioni) al tendere all’ infinito di k. Le Admissible Meshes sono sequenze di sottoinsiemi finiti A k del compatto E la cui cardinalità cresce in modo subesponenziale rispetto a k e per i quali esiste una costante positiva C tale che max E |p| ≤ C max A k |p| per ogni polinomi di grado al più k. Questi due oggetti matematici hanno molte appliicazioni e motivazioni prove- nienti dalla Teoria dell’ Approssimazione e dalla Teoria del Pluripotenziale, lo stu- dio delle funzioni plurisubarmoniche in più variabili complesse. Le proprietà delle misure di Bernstein Markov e delle admissible meshes per un dato compatto E sono molto simili, infatti le due definizioni possono essere viste come gli approcci rispettivamente continuo e discreto dello stesso problema. Questo lavoro si concentra nel fornire condizioni sufficienti per la proprietà di Bernstein Markov in diverse situazioni e nella costruzione esplicita di admissible meshes. Come primo problema vengono studiate condizioni sufficienti per una versione della proprietà di Bernstein Markov per successioni di funzioni razionali nel piano complesso in relazione alla stessa proprietà per i polinomi. Nel Capitolo 5 viene considerato il caso di un compatto E sottoinsieme di una varietà algebrica A ⊂ C n di dimensione pura m < n ed irriducibile e quindi provata una condizione sufficiente per la proprietà di Bernstein Markov per le tracce dei polinomi su E. A questo scopo vengono provati due risultati nuovi in Teoria del Pluripoten- ziale riguardanti la convergenza e la comparabilità della capacità relativa (di Monge Ampère), delle funzioni plurisubarmoniche estremali globali e relative e delle co- stanti di Chebyshev per sottoinsiemi E j di un dato compatto E della varietà alge- brica A, anche nel caso A sia singolare. Tali risultati sono di interesse indipendente. Nell’ultima parte della tesi vengono provate ed illustrate alcune procedure per la costruzione di admissible meshes per alcune classi di compatti reali. In ultimo vengono presentati alcuni nuovi algoritmi, basati sulle admissible meshes, per l’ approssimazione numerica delle più rilevanti grandezze in Teoria del Pluripotenziale: il diametro transfinito, la funzione estremale di Siciak-Zaharjuta e la misura di equilibrio pluripotenziale

Caratheodory-Tchakaloff Subsampling

We present a brief survey on the compression of discrete measures by Caratheodory-Tchakaloff Subsampling, its implementation by Linear or Quadratic Programming and the application to multivariate polynomial Least Squares. We also give an algorithm that computes the corresponding Caratheodory-Tchakaloff (CATCH) points and weights for polynomial spaces on compact sets and manifolds in 2D and 3D

A note on total degree polynomial optimization by Chebyshev grids

Using the approximation theory notions of polynomial mesh and Dubiner distance in a compact set, we derive error estimates for total degree polynomial optimization on Chebyshev grids of the hypercub

Bernstein-Markov: a survey

We give a survey of recent results, due mainly to the authors, concerning Bernstein-Markov type inequalities and connections with potential theory.Comment: This will appear soon in a special issue of Dolomites Research Notes on Approximation (DRNA): "Ten years of Padua Points